列聯(lián)表
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列聯(lián)表是觀測數(shù)據(jù)按兩個或更多屬性（定性變量）分類時所列出的頻數(shù)表
一般,若總體中的個體可按兩個屬性A與B分類，A有r個等級A1,A2,…,Ar，B有c個等級B1,B2,…,Bc,從總體中抽取大小為n的樣本，設(shè)其中有nij個個體的屬性屬于等級Ai和Bj，nij稱為 頻數(shù)，將r×c個nij排列為一個r行c列的二維列聯(lián)表，簡稱r×c表。若所考慮的屬性多于兩個，也可按類似的方式作出列聯(lián)表,稱為多維列聯(lián)表。
分析
列聯(lián)表又稱交互分類表，所謂交互分類，是指同時一句兩個變量的值，將所研究的個案分類。交互分
類的目的是將兩變量分組，然后比較各組的分布狀況，以徐找變量間的關(guān)系。
觀測數(shù)據(jù)按兩個或更多屬性（定性變量）分類時所列出的頻數(shù)表。例如，對隨機抽取的1000人按性別（男或女）及色覺（正?；?a href="/w/%E8%89%B2%E7%9B%B2" title="色盲">色盲）兩個屬性分類，得到二行二列的列聯(lián)表（表1），又稱2×2表或四格表。
一般,若總體中的個體可按兩個屬性A與B分類，A有r個等級A1,A2,…,Ar；B有с個等級B1,B2,…,Bc,從總體中抽取大小為n的樣本設(shè)其中有nij個屬于等級Ai和Bj，nij稱為頻數(shù)，將r×с個nij(i=1,2,…,r;j=1,2,…,с)排列為一個r行с列的二維列聯(lián)表（表2），簡稱r×с表。若所考慮的屬性多于兩個，也可按類似的方式作出列聯(lián)表,稱為多維列聯(lián)表。由于屬性或定性變量的取值是離散的,因此多維列聯(lián)表分析屬于離散多元分析的范疇,列聯(lián)表分析在應(yīng)用統(tǒng)計，特別在醫(yī)學(xué)、生物學(xué)及社會科學(xué)中，有重要的應(yīng)用。
列聯(lián)表分析的基本問題是，判明所考察的各屬性之間有無關(guān)聯(lián)，即是否獨立。如在前例中，問題是：一個人是否色盲與其性別是否有關(guān)？在 r×с表中，若以pi.、p.j 和pij分別表示總體中的個體屬于等級Ai，屬于等級Bj和同時屬于Ai、Bj的概率（pi., p.j稱邊緣概率，pij稱格概率）,“A、B兩屬性無關(guān)聯(lián)”的假設(shè)可以表述為H0：pij=pi.p.j，(i＝1，2，…,r；j＝1,2,…,с)，未知參數(shù) pij、pi.、p.j的最大似然估計（見點估計）分別為分別為行和及列和（統(tǒng)稱邊緣和）；
為樣本大小。根據(jù)K.皮爾森(1904)的擬合優(yōu)度檢驗或似然比檢驗（見假設(shè)檢驗）,當(dāng)h0成立，且一切 pi.>0和p.j>0時，統(tǒng)計量
的漸近分布是自由度為 (r－1)(с－1) 的ⅹ分布，式中Eij＝ni.n.j/n 稱為期望頻數(shù)。當(dāng)n足夠大，且表中各格的Eij都不太小時,可以據(jù)此對h0作檢驗：若ⅹ值足夠大，就拒絕假設(shè)h0，即認為A與B有關(guān)聯(lián)。在前面的色覺問題中，曾按此檢驗，判定出性別與色覺之間存在某種關(guān)聯(lián)。
若樣本大小n不很大,則上述基于漸近分布的方法就不適用。對此，在四格表情形，R.A.費希爾(1935)提出了一種適用于所有 n的精確檢驗法。其思想是在固定各邊緣和的條件下，根據(jù)超幾何分布（見概率分布），可以計算觀測頻數(shù)出現(xiàn)任意一種特定排列的條件概率。把實際出現(xiàn)的觀測頻數(shù)排列，以及比它呈現(xiàn)更多關(guān)聯(lián)跡象的所有可能排列的條件概率都算出來并相加，若所得結(jié)果小于給定的顯著性水平，則判定所
考慮的兩個屬性存在關(guān)聯(lián)，從而拒絕h0。
在判定變量之間存在關(guān)聯(lián)性后，可用多種定量指標(biāo)來刻畫其關(guān)聯(lián)程度。例如，對一般的r×с表，可用列聯(lián)系數(shù)表示之。
對一般的r×с表，特別是在多維表分析中，若無關(guān)聯(lián)性（即獨立性）的假設(shè)被拒絕，則通常還需要檢驗進一步的假設(shè)。例如對三維表，可能需要考慮一個變量是否與另外兩個變量獨立。對這類局部獨立性的檢驗仍可用大樣本的ⅹ檢驗法。但是在多維情形，變量之間的關(guān)聯(lián)性可能相當(dāng)復(fù)雜。許多假設(shè)，直接用格概率表示是不方便的。一種處理方法是仿照線性統(tǒng)計模型，將格概率（或期望頻數(shù)）的對數(shù)表示成各變量的主效應(yīng)及各階交互效應(yīng)等未知參數(shù)的線性形式。這種模型稱為對數(shù)線性模型，在此模型下，變量獨立性的假設(shè)等價于交互效應(yīng)等于零的假設(shè)。此外，還可以利用對數(shù)線性模型，根據(jù)實際觀測頻數(shù)，對各種具體模型進行擬合，并對各未知參數(shù)進行估計。估計的方法一般采用最大似然方法。由于這一類似然方程的解常無顯式表示，通常需用迭代法求解，計算工作量很大。因此，多維列聯(lián)表分析只在近代高速電子計算機的使用日益普及的情況下，才得到較為充分的發(fā)展，逐漸達到可以實際應(yīng)用的程度。
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